Polinomial

1. Pengertian Polinomial 

2x⁵ + 4x⁴ + 8x³ -10x² - 15x + 50

Bentuk Polinomial diatas mempunyai ciri-ciri berikut :

1. Memuat satu variabel yaitu x

2. Pangkat tertinggi atau derajat yaitu 5

3. Koefisien Berturut-turut yaitu 2, 4, 8, -10, dan -15

4. Memiliki Suku tetap atau Konstanta 

2.Contoh polinomial

   - 6x

   - 3x² - 2x + 8

   - 2x³ - x² + 5x - 10 

3.Operasi Polinomial

Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut

f(x) = 2x³ - x² + 5x - 10

g(x) = 3x² - 2x + 8

Tentukan :

a) f(x) + g(x)

b) f(x) - g(x)

c) f(x) x g(x)

Penyelesaian

a) f(x) + g(x) = (2x³ - x² + 5x - 10) + (3x² - 2x + 8)

                    = 2x³ - x² + 3x² + 5x - 2x - 10 + 8

                    = 2x³ + 2x² + 3x - 2

b) f(x) + g(x) = (2x³ - x² + 5x - 10) - (3x² - 2x + 8)

                     = 2x³ - x² - 3x² + 5x + 2x - 10 - 8

                     = 2x³ - 4x²  + 7x - 18

c) f(x) x g(x) = (2x³ - x² + 5x - 10) × (3x² - 2x + 8)

              = 2x³(3x² - 2x + 8) - x²(3x² - 2x + 8) + 5x(3x² - 2x +                     8) - 10(3x² - 2x + 8)

              = 2x⁵ - 4x⁴ + 16x³ - 3x⁴ + 2x³ - 8x²  + 15x³ - 10x² +                    40x - 30x² + 20x - 80

              = 2x⁵ - 7x⁴ + 33x³ - 48x² + 60x - 80

4.Menentukan nilai polinomial

Contoh soal

f(x) = x⁴+3x³-2x²+x-5

     x = 2

Jawab :

Cara substitusi :

f(x) = x⁴+3x³-2x²+x-5

f(2) = 2⁴+3(2)³-2(2)²+2-5
       = 16 + 24 - 8 - 3
       = 29

Cara horner :

               Algoritma pembagian

      bilangan=pembagi.hasil bagi+sisa

Contoh soal :

f(x)=5x³+2x²+5
g(x)=x-2
f(x) : g(x) ?
Jawab :

Cara bersusun :

Cara horner :

Persamaannya
f(x) = p(x) . h(x) + s(x)
5x³+2x²+5 = (x-2) (5x²+12x+24)+53
Keterangan :

f(x) = bilangan

P(x) = pembagi

h(x) = hasil bagi

s(x) = sisa

Teorema sisa 1

"Jika suku banyak f(x) dibagi x-k maka,sisanya adalah f(k)"

contoh soal :
f(x)=x⁴+3x³-2x²+x-5 ; x-2

Tentukan sisanya !

Jawab :

f(x) = x⁴+3x³-2x²+x-5

f(2) = 2⁴+3(2)³-2(2)²+2-5

= 16 + 24 - 8 - 3

= 29

Cara bersusun :

Teorema sisa 2

"Jika f(x) = ax - b maka akan bersifat f(b/a)"

Contoh soal :

f(x) = x⁴+3x³-2x²+x : 2x - 1

Tentukan sisanya !

Jawab :

           ax-bx=2x-1

Sisa -> a/b = 1/2 

atau 

2x-1 = 0

x = 1/2

f(x) = x⁴+3x³-2x²+x

Cara substitusi :

f(1/2) = (1/2)⁴+3(1/2)³-2(1/2)²+1/2

= 1/16 + 3(1/4) - 2(1/4) + 1/2

= 1 + 6 - 8 + 8 / 16

= 7/16

Cara bersusun :

Cara Horner :

Teorema sisa 3

"Jika suatu suku banyak f(x) : (x-a)(x-b) maka sisanya adalah f(b) = pb + q

Contoh soal : 

f(x) = x³-2x²+3x-1 : x²+x-2

Tentukan sisanya !

Jawab :

x²+x-2 = (x-1)(x+2)

f(a) = f(1)

f(b)=f(-2)

f(x) = x³-2²+3x-1

f(1)=1³-2(1)²+3(1)-1

= 1 - 2 + 3 - 1

= 1

f(x) = x³-2x²+3x-1

f(-2) = -2³-2(-2)²+3(-2)-1

= -8 - 8 - 6 - 1

= -23

f(a) = pa + q

f(1) = p(1) + q

1 = p + q .... (1)

f(b) = pb + q

f(-2) = p(-2) + q

-23 = -2p + q .... (2)

Eliminasi :

p + q = 1

-2p + q = -23     -

      -3p = 24

         P = 8

Substitusi :

 p + q = 1 

 8 + q = 1

       q = -7

Sisa : px + q 

           8x - 7

Pembuktian :

Teorema Faktor :

Untuk setiap algoritma / suatu suku banyak 

f(x) = p(x) . h(x) + s(x) , s(x)=0

Contoh soal : 

Tentukan himpunan penyelesaian dan faktor linear dari suku banyak f(x) = x³-x²-8x+12 

Jawab : 

Coba untuk x=2 (pembagi(x-2)

Cara Horner :

Diperoleh hasil bagi

2x²+x-6 = (2x-3)(x+2)

Sehingga faktor-faktornya :

x³-x²-8x+12 = 0

(x-2) (2x-3) (x+2) = 0

Jadi himpunan penyelesainnya {-2,3/2,2}

                  Sekian dan Terimakasih :)